Aplikasi Polinomial

Infografis Polinomial

Halo, semua! Kita kembali lagi pada materi baru. Kali ini kita akan membahas materi Matematika Minat kelas XI tentang polinomial. Sebelum itu, apakah kalian pernah menggunakan elevator atau lift? Kita dapat menghitung kecepatan elevator menggunakan konsep polinomial, lho! Bagaimana, ya caranya? Ayo kita cari tahu lebih lengkap bersama!

A. Pengertian Polinomial

     Polinomial adalah sistem pernyataan matematika yang disusun dari kumpulan koefisien beserta variabel x yang digabungkan dengan tanda operasional. Dalam polinomial, pangkat tertinggi yang dimiliki variabel x harus lebih dari 2 (>2). Hal inilah yang membedakan persamaan polinomial dengan persamaan kuadrat, sehingga persamaan polinomial juga sering dikenal dengan persamaan suku banyak. Pangkat tertinggi dalam polinomial akan menunjukkan orde atau derajat dari persamaan polinomial tersebut. Misalnya, terdapat persamaan polinomial 4x⁴ + 6x³ + 12x² + x + 45, maka persamaan polinomial tersebut berderajat 4 sebab pangkat tertinggi yang dimiliki variabel x-nya adalah 4.

Pada umumnya, bentuk polinomial yaitu:

f(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2}x^{n – 2} + … + a₁x + a₀

Dengan keterangan:

• n = derajat (pangkat) tertinggi dari polinomial
• x = variabel yang memiliki pangkat; variabel x juga bisa digantikan dengan variabel lain atau bahkan memiliki lebih dari 1 variabel dalam sebuah persamaan
• a = bilangan (koefisien) yang mengikuti variabel
• a_{0 = konstanta, yaitu bilangan yang tidak diikuti variabel.}

Sehingga, apabila terdapat persamaan polinomial 4x⁴ + 6x³ + 12x² + x + 45, maka dapat disimpulkan:

• n = 4
• variabel = x
• a = 4x , 6x , 12x , dan 1x 
• a_{0 = 45}

B. Syarat Polinomial

Dalam persamaan polinomial, tentu ada beberapa syarat khusus supaya suatu persamaan dapat dikatakan sebagai persamaan polinomial. Berikut syarat-syarat yang dimiliki persamaan polinomial:

• Variabel tidak boleh memiliki pangkat negatif maupun pecahan. Hal ini mengandung arti bahwa pangkat yang dimiliki variabel x harus berbentuk bilangan cacah, yaitu bilangan positif tanpa berbentuk pecahan. Contoh bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, dst. 
• Variabel tidak boleh masuk dalam persamaan trigonometri. Hal ini mengandung arti bahwa dalam persamaan polinomial tidak boleh terdapat sin, cos, tan, cotangen, cosecan, ataupun secan yang dapat mengindikasikan persamaan tersebut adalah persamaan trigonometri. 

Berikut ini adalah contoh bentuk polinomial dan bukan polinomial:

a) Polinomial 

• 3x³ + 7 
• 18x⁴ - 5y³ - 34
• 77x⁵ - 10x² + 8

b) Bukan polinomial

• 10x⁴ - cos 2x + tan 3x
• 5y^-3 + 17y^-2 - 4
• 8x^1/2 - 16x^1/4 - 9

C. Metode Penyelesaian Polinomial

Dalam persamaan polinomial, kita dapat menggunakan berbagai cara atau metode penyelesaian, di antaranya:

a) Metode Horner

     Metode Horner adalah cara penyelesaian sistem polinomial dengan mengurutkan x dari yang berderajat tinggi hingga rendah. Nantinya, koefisien dari setiap x akan dibagi dengan pembagi yang berbentuk x-k atau x = konstanta. Dalam metode Horner, kita akan mengenal istilah H(x) dan S. Nah, H(x) adalah sebutan untuk hasil dari pembagian polinomial dengan nilai x. Sementara itu, S adalah sebutan untuk sisa pembagian yang tidak habis terbagi. Polinomial yang sisa pembagiannya 0 berarti dapat dibagi secara menyeluruh oleh nilai x yang dimasukkan. Teman-teman, perlu diperhatikan juga, pangkat variabel x dari hasil pembagian nantinya akan menurun 1 tingkat atau pangkatnya dikurangi 1.

Sumber: http://nyachya.blogspot.com/2020/05/polinomial-suku-banyak-dan-metode-horner_12.html?m=1

*Contoh Metode Horner:

Tentukan hasil pembagian dari x⁴ – 15x² – 10x + 24 dengan pembaginya (x + 2).

Penyelesaian jawaban:

Jadi, hasil dari pembagian tersebut adalah x³ – 2x² – 11x + 12 .

b) Metode Substitusi

     Metode substitusi adalah cara penyelesaian sistem polinomial dengan menyubstitusikan nilai salah satu variabel dari suatu persamaan ke persamaan yang lain. Sama halnya dengan metode Horner, kita akan menentukan terlebih dahulu nilai x yang akan dimasukkan ke dalam sistem persamaan. Setelah dimasukkan ke dalam persamaan, jika ternyata hasilnya = 0 berarti nilai x tersebut dapat membagi persamaan secara menyeluruh dan termasuk salah satu faktor-faktornya. Namun, apabila hasilnya ≠ 0, maka termasuk nilai dari suku banyak tersebut.

*Contoh Metode Substitusi:

Tentukan nilai suku banyak f(x) =  x4 + 3x3 – x2 + 7x + 25 untuk x = 2.

Penyelesaian jawaban:

f(2) = (2)4 + 3(2)3 – (2)2 + 7(2) + 25

f(2) = 16 + 3(8) - 4 + 14 + 25

f(2) = 16 + 24 - 4 + 14 + 25

f(2) = 75

Jadi, nilai dari f(x) =  x4 + 3x3 – x2 + 7x + 25 untuk x = 2 adalah 75.

D. Penemu Polinomial

     Evariste Galois adalah seorang matematikawan asal Perancis yang menemukan teori dasar dalam persamaan polinomial. Ia lahir pada tanggal 25 Oktober 1811 di Bourge-la-Reine dan berasal dari keluarga yang cukup berada. Kemampuan matematikanya mulai berkembangan ketika Galois mempelajari teori tentang geometri dan aljabar. Ia berkontribusi besar dalam pengembangan teori Galois. Dia menyadari bahwa solusi aljabar untuk persamaan polinomial berhubungan dengan struktur kelompok permutasi dikaitkan dengan akar polinomial. Karyanya memiliki banyak ide-ide yang bermanfaat dalam cabang matematika yang lain. Galois meninggal di usia yang masih belia pada tanggal 31 Mei 1832 di Paris. Evariste Galois juga dikenal sebagai penemu dasar teori himpunan.

E. Aplikasi Polinomial

Teman-teman, sistem perhitungan polinomial juga dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari=hari, lho! Kira-kira apa saja ya, contoh bidang ilmu yang dapat menggunakan sistem persamaan polinomial? Supaya lebih paham, mari kita bahas bersama contoh soal aplikasi polinomial dalam berbagai bidang di sekitar kita!

Berikut contoh soal penerapan polinomial:

Aplikasi Polinomial

Terjemahan soal:

1. Tentukan panjang dari kebun berbentuk persegi panjang.

2. Intensitas cahaya yang dipancarkan kunang-kunang dapat ditentukan dengan fungsi L(t) = 10 + 0,3t + 0,4t² - 0,01t³ , di mana t adalah temperatur (suhu) dalam satuan derajat Celcius (°C) dan L(t) adalah intensitas cahaya dalam lumen (lm). Jika diketahui temperaturnya 30°C, tentukan intensitas cahayanya.

3. Elevator bergerak dari satu lantai ke lantai yang lain tidak dengan kecepatan konstan. Misalkan, kecepatan elevator dalam satuan ft/s diketahui dalam fungsi f(t) = -0,5t⁴ + 4t³ - 12t² + 16t , di mana t adalah waktu dalam satuan detik (s). Tentukan kecepatan elevator ketika 1, 2, dan 3 detik. 

*) Pembahasan

1. Bidang Arsitektur

     Sistem polinomial dapat diterapkan dalam bidang Arsitektur, misalnya dalam menentukan ukuran suatu kebun yang berbentuk persegi panjang. Kita sudah mengetahui luas dari kebun tersebut, yaitu x³ + 3x² - 5x - 15 dan lebarnya (x + 3). Rumus luas dari persegi panjang yaitu L = p x l . Kita dapat mencari nilai panjang dari kebun melalui metode Horner dengan membagi luasnya dengan lebar.

Penyelesaian jawaban:

Jadi, panjang dari kebun yang berbentuk persegi panjang tersebut adalah (x² - 5).

2. Bidang Biologi

     Sistem polinomial dapat diterapkan juga dalam bidang Biologi. Kita dapat mencari intensitas cahaya yang dimiliki seekor kunang-kunang melalui metode substitusi, yakni dengan memasukkan nilai temperatur yang diketahui ke dalam sistem persamaan suku banyaknya.

Penyelesaian jawaban:

Jadi, intensitas cahaya dari kunang-kunang yang memiliki temperatur 30° adalah 109 lm.

3. Bidang Transportasi Vertikal (Elevator)

     Sebagian dari kalian pasti pernah menggunakan elevator atau lift. Elevator termasuk dalam transportasi vertikal atau transportasi yang bergerak dari bawah ke atas ataupun sebaliknya. Kita juga dapat menggunakan perhitungan suku banyak untuk mengetahui kecepatan suatu elevator berdasarkan lama waktu yang ditempuhnya. Melalui metode substitusi, kita dapat langsung memasukkan nilai waktunya (dalam detik) untuk mencari kecepatan elevator.

Penyelesaian jawaban:

Jadi, kecepatan elevator ketika 1 detik adalah 7,5 ft/s ; ketika 2 detik adalah 8 ft/s ; dan ketika 3 detik adalah 7,5 ft/s .

Wah, ternyata kita dapat mengaplikasikan sistem perhitungan polinomial ke dalam berbagai bidang di sekitar kita, seperti di bidang arsitektur, biologi, dan transportasi, ya! Itu tadi adalah pembahasan dan contoh penerapan sistem persamaan polinomial dalam kehidupan sehari-hari. Semoga dapat bermanfaat dan sampai jumpa pada materi selanjutnya~

*) Sumber referensi lain:

• https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/suku-banyak-matematika-kelas-11-pengertian-pembagian-dan-contoh-soal/
• https://www.yuksinau.id/polinomial/
• http://nyachya.blogspot.com/2020/05/polinomial-suku-banyak-dan-metode-horner_12.html?m=1
• https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel-dan-metode-penyelesaiannya-3129/#:~:text=Metode%20substitusi%20adalah%20metode%20penyelesaian,sistem%20persamaan%20linear%20tiga%20variabel
• https://blogpenemu.blogspot.com/2014/10/evariste-galois-peletak-dasar-teori-himpunan.html?m=1